결정 구조

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1. 개요

결정 구조는 결정 내 원자 또는 분자의 규칙적인 배열을 의미하며, 단위 격자와 결정 격자로 분류된다. 단위 격자는 결정의 반복적인 기본 단위를 나타내고, 결정 격자는 3차원 공간에서 격자점의 배열을 설명한다. 결정 구조는 고유한 대칭성을 가지며, 병진 대칭성, 회전 대칭성, 거울면 대칭성 등 다양한 대칭 요소를 포함한다.

결정 구조는 기본 구조와 격자로 구성되며, 기본 구조는 격자점에 부착된 구조를, 격자는 격자점의 반복적인 배열을 나타낸다. 단위 격자는 결정 구조의 최소 반복 단위이며, 단순 단위 격자, 최대 충전 구조 등 다양한 유형이 존재한다. 주요 결정 구조로는 단순 입방 구조, 면심 입방 구조, 체심 입방 구조, 육방 최밀 충진 구조 등이 있으며, 원자 충진율과 배위수는 결정 구조의 중요한 특징이다. 결정 구조는 밀러 지수를 사용하여 설명되며, 결정 결함, 불순물, 전위, 결정립계와 같은 요소는 재료의 특성에 영향을 미친다. 결정 구조 예측은 진화 알고리즘, 공명 원자가 결합 이론 등을 통해 이루어지며, 다형체 현상은 동일한 물질이 여러 결정 형태로 존재하는 것을 의미한다. 결정의 물리적 성질로는 압전성, 강유전성 등이 있다.

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결정 구조
결정 구조 개요
결정 구조	결정체 내 원자, 이온 또는 분자의 질서 정연한 배열
특징	결정 격자 대칭 단위 셀
주요 결정 구조	단순 입방 구조 면심 입방 구조 체심 입방 구조 육방 밀집 구조
결정 구조 분석 방법	엑스선 회절 중성자 회절 전자 회절
결정 구조
격자	결정 구조 내에서 원자, 이온 또는 분자가 배열되는 방식
격자 상수	격자의 크기와 모양을 정의하는 매개변수
대칭	결정 구조의 반복되는 패턴에 대한 변환 작업
단위 셀	전체 격자 구조를 생성하는 데 사용되는 결정 구조의 가장 작은 반복 단위
공간 그룹	결정 구조의 대칭성을 수학적으로 기술
단순 입방 구조 (Simple Cubic Structure)
특징	각 모서리에 원자가 위치한 가장 단순한 결정 구조
예시	폴로늄
면심 입방 구조 (Face-Centered Cubic Structure)
특징	각 모서리와 각 면의 중앙에 원자가 위치
예시	구리 알루미늄 금 은
체심 입방 구조 (Body-Centered Cubic Structure)
특징	각 모서리와 단위 셀 중앙에 원자가 위치
예시	철 크롬 텅스텐
육방 밀집 구조 (Hexagonal Close-Packed Structure)
특징	육각형 격자를 기반으로 한 밀집 구조
예시	마그네슘 아연 티타늄
결정 구조 분석
엑스선 회절	결정 구조에서 회절된 엑스선 패턴을 분석하여 구조 결정
중성자 회절	중성자 산란을 사용하여 구조 결정, 가벼운 원자에 특히 유용
전자 회절	전자 빔을 사용하여 구조 결정, 특히 표면 구조 연구에 유용
결정 구조의 중요성
재료 과학	재료의 특성(예: 강도, 전기 전도도)이 결정 구조에 의해 결정됨
나노 기술	나노 물질의 결정 구조가 기능에 큰 영향을 미침
광물학	광물의 결정 구조를 통해 식별 및 분류

2. 결정 구조의 분류

결정 구조는 단위 격자(단위 구조)와 결정 격자로 분류된다. 단위 구조는 결정 내에서 반복되는 구조의 단위로, 결정을 구성하는 격자 내에서 원자나 분자가 배열되는 방식이다. 실제 결정에서 결정 격자를 구성하는 벡터는 직각으로 교차하는 단위 벡터 이외의 경우도 있어, 7종류의 결정계에 속한다.

결정은 고유한 대칭성을 갖는다. 결정 격자에 특정 대칭 연산을 수행해도 구조가 변하지 않는다. 모든 결정은 세 방향으로 병진 대칭성을 가지지만, 일부는 다른 대칭 요소도 갖는다. 예를 들어, 특정 축을 중심으로 결정을 180° 회전하면 원래의 원자 배열과 동일한 배열이 될 수 있는데, 이 경우 결정은 이 축에 대해 이중 회전 대칭성을 갖는다. 회전 대칭성 외에도 결정은 거울면 형태의 대칭성, 그리고 병진과 회전 또는 거울 대칭성의 조합인 복합 대칭성을 가질 수 있다.

결정 구조는 기본 구조와 격자로 구성된다. 기본 구조는 하나의 격자점에 부수되는 구조를 의미하며, 여기서 격자점은 주위 환경이 동일한 점을 말한다. 격자점은 병진 조작에 의해 무한히 재현되어 격자를 형성한다. 격자점을 연결한 영역 중 적절한 병진 조작을 반복하여 전체 공간을 채울 수 있는 것을 단위 격자라고 한다. 단위 격자 안에서 격자점이 꼭짓점에만 있는 경우, 즉 격자점을 평균적으로 하나 포함하는 단위 격자를 기본 단위 격자(또는 단순 단위 격자)라고 한다.

2. 1. 단위 격자

결정구조는 '''단위 격자'''(단위구조)와 '''결정 격자'''로 분류된다. 단위 구조는 결정 내에서 반복되는 구조의 단위로, 결정을 구성하는 격자 내에서 원자 또는 분자의 배열 방식이다. 결정은 3차원 주기 함수이며, 1주기가 단위 격자 구조이다. 실제 결정에서 결정 격자를 구성하는 실격자 벡터는 직각으로 교차하는 단위 벡터 이외의 경우도 있어, 7종류의 '''결정계'''에 속하는 '''결정 격자'''라고 한다.

'''단위 격자'''(unit cell^영어)는 자신을 평행 이동시켜 결정을 표현할 수 있는 최소 단위이다. 단위 격자 중 격자점이 정점에 있는 것을 '''단순 단위 격자'''(simple unit cell^영어)라고 하며, 쓸데없는 간격이 가장 적은 것을 '''최대 충전 구조'''라고 한다.

결정의 격자 구조에는 단순 입방 구조(pc 또는 sc), 면심 입방 구조(fcc), 체심 입방 구조(bcc), 육방 밀집 구조(hc) 등이 있으며, X-선 회절 실험을 통해 얻은 격자 면간 거리를 분석하여 구조를 알아낼 수 있다.

금속 결정에서는 다음과 같은 형태의 구조가 나타나며, 이온 결정은 기본 격자 구조와 다른 전하를 띠는 입자가 틈새 자리에 들어가 있는 형태이다.

결정 구조는 단위 세포 내 입자들의 배열을 기하학적 구조로 설명한다. 단위 세포는 결정 구조의 완전한 대칭성을 갖는 가장 작은 반복 단위로 정의된다.^[2] 단위 세포의 기하학적 구조는 평행육면체로 정의되며, 세포 모서리의 길이(''a'', ''b'', ''c'')와 그 사이의 각도(α, β, γ)로 이루어진 여섯 개의 격자 매개변수를 제공한다. 단위 세포 내 입자의 위치는 기준점에서 측정된 세포 모서리를 따라 분수 좌표(''x_i'', ''y_i'', ''z_i'')로 설명된다. 따라서 결정학적 비대칭 단위라고 하는 가장 작은 비대칭 부분 집합의 좌표만 보고하면 된다. 비대칭 단위는 가장 작은 물리적 공간을 차지하도록 선택할 수 있으며, 이는 모든 입자가 격자 매개변수에 의해 주어진 경계 내에 물리적으로 위치할 필요가 없음을 의미한다. 단위 세포의 다른 모든 입자는 단위 세포의 대칭성을 특징짓는 대칭 연산에 의해 생성된다. 단위 세포의 대칭 연산 집합은 결정 구조의 공간군으로 공식적으로 표현된다.^[3]

결정구조는 “'''기본구조'''”와 “'''격자'''”의 두 가지로 이루어진다. 기본구조란 하나의 “격자점”에 부수하는 구조이다. 격자점이란 주위의 환경이 동일한 점을 말하며, 특정 원자의 위치로 한정되지 않는다.^[26] 격자점은 병진 조작에 의해 무한히 재현되어 “격자”를 만든다. 격자점을 연결한 영역으로, 적절한 병진 조작을 반복하여 전 공간을 채울 수 있는 것을 “'''단위격자'''”라고 부른다.

2. 1. 1. 단순 단위 격자

단위 격자 중 격자점이 정점에만 있는 것을 단순 단위 격자(simple unit cell^영어)라고 한다.^[2] 단위세포는 결정 구조의 완전한 대칭성을 갖는 가장 작은 반복 단위로 정의된다.^[2]

단순 입방 결정의 경우, 격자 벡터는 직교하고 길이가 같으며, 밀러 지수 (''ℓmn'')와 [''ℓmn'']는 직교 좌표계의 법선/방향을 나타낸다. 격자 상수 ''a''를 갖는 입방 결정의 경우, 인접한 (ℓmn) 격자면 사이의 간격 ''d''는 다음과 같다.

:

d_{\ell mn}= \frac {a} { \sqrt{\ell ^2 + m^2 + n^2} }

면심입방격자(fcc) 및 체심입방격자(bcc)의 경우, 원시 격자 벡터는 직교하지 않지만, 밀러 지수는 일반적으로 입방 초격자의 격자 벡터를 기준으로 정의되므로 직교 방향이 된다.

기본 단위 격자(또는 단순 단위 격자)는 단위 격자 안에서 격자점이 꼭짓점에만 있는 것으로, 격자점을 평균적으로 하나 포함한다.

2. 1. 2. 최대 충전 구조

원자를 틈새가 가장 적게 되도록 배치한 구조를 '''최밀 충진 구조'''라고 한다. 최밀 충진 구조에는 다음과 같은 것들이 있다.

육방 최밀 충진 구조(hcp)
면심 입방 구조(fcc) 또는 입방 최밀 충진 구조(ccp)

크기가 같은 구체들을 가장 효율적으로 배열하고 3차원에서 밀집 배열된 원자면을 쌓는 방법을 고려하면 이해할 수 있다. 예를 들어, A면이 B면 아래에 있다면, B면 위에 추가적인 원자를 배치하는 방법에는 두 가지가 있다. 만약 추가적인 층이 A면 바로 위에 배치되면 다음과 같은 배열이 만들어진다.

:...'''ABABABAB'''...

이러한 원자 배열을 '''육방 밀집 배열(hcp, hexagonal close packing)'''이라고 한다.

그러나 세 개의 면이 서로 어긋나 있고 네 번째 층이 A면 바로 위에 위치할 때까지 시퀀스가 반복되지 않는 경우, 다음과 같은 배열이 만들어진다.

:...'''ABCABCABC'''...

이러한 구조적 배열을 '''입방 밀집 배열(ccp, cubic close packing)'''이라고 한다.

원자의 ccp 배열의 단위 세포는 면심 입방(fcc, face-centered cubic) 단위 세포이다. 밀집된 층이 fcc 단위 세포의 {111} 면과 평행하기 때문에 이는 바로 알기 어렵다. 밀집된 층에는 네 가지의 서로 다른 방향이 있다.

2. 2. 결정 격자

결정 구조는 단위 격자(단위 구조)와 결정 격자로 분류된다. 단위 구조는 결정 내 반복적인 구조의 단위로, 결정을 구성하는 격자 내 원자 또는 분자의 배열 양식이다. 실제 결정에서 결정 격자를 구성하는 실격자 벡터는 직각으로 교차하는 단위 벡터 이외의 경우도 있다.

결정의 격자 구조에는 단순 입방 구조(pc 또는 sc), 면심 입방 구조(fcc), 체심 입방 구조(bcc), 육방 밀집 구조(hc) 등이 있으며, X선 회절 실험을 통해 얻은 격자 면간 거리를 분석하여 구조를 파악할 수 있다.^[26]

결정 구조는 단위 세포 내 입자들의 배열을 기하학적 구조로 설명한다. 단위 세포는 결정 구조의 완전한 대칭성을 갖는 가장 작은 반복 단위로 정의된다.^[2] 단위 세포의 기하학적 구조는 평행육면체로 정의되며, 세포 모서리의 길이(''a'', ''b'', ''c'')와 그 사이의 각도(α, β, γ)로 이루어진 여섯 개의 격자 매개변수를 제공한다. 단위 세포 내 입자의 위치는 분수 좌표(''x_i'', ''y_i'', ''z_i'')로 설명된다. 단위 세포의 대칭 연산 집합은 결정 구조의 공간군으로 공식적으로 표현된다.^[3]

결정 구조는 기본 구조와 격자로 이루어진다. 기본 구조는 하나의 격자점에 부수하는 구조이며, 격자점은 주위 환경이 동일한 점을 의미한다. 격자점은 병진 조작에 의해 무한히 재현되어 격자를 만든다. 단위 격자 안에서 격자점이 꼭짓점만 있는 경우, 즉 격자점을 평균적으로 하나 포함하는 단위 격자를 기본 단위 격자(또는 단순 단위 격자)라고 부른다.

결정 격자(結晶格子)는 결정의 병진 대칭성을 특징짓는 공간 위의 격자이다.

실공간에서 기본 병진 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃에 의해 실격자 벡터 '''R'''_n은

:

\boldsymbol{R}_{n} = n_1 \boldsymbol{a}_1 + n_2 \boldsymbol{a}_2 + n_3 \boldsymbol{a}_3

로 표현된다. 여기서, '''n''' = ('''n'''₁, '''n'''₂, '''n'''₃)는 임의의 정수의 집합이다. '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃이 만드는 평행육면체가 단위 격자(즉, 단위 세포)이며, 이 단위 격자를 3차원적으로 반복해서 나열한 것이 결정이다. 그리고 이 결정을 구성하는 격자가 '''결정 격자'''이며, 실격자 벡터 '''R'''_n의 종점이 격자점이다.

2. 2. 1. 결정계

결정구조는 '''단위 격자'''(단위구조)와 '''결정격자'''로 분류된다. 단위구조는 결정 내 반복적인 구조의 단위로, 결정을 구성하는 격자 내 원자 또는 분자의 배열 양식이다. 결정은 3차원 주기함수로, 1주기가 단위격자구조이다. 실제 결정에서 결정격자를 구성하는 실격자벡터는 직각으로 교차하는 단위벡터 이외의 경우도 있어, '''결정격자'''는 7종류의 '''결정계'''에 속한다.^[7]

결정의 정의 특성은 고유한 대칭성이다. 결정 격자에 특정 대칭 연산을 수행해도 변하지 않는다. 모든 결정은 세 방향으로 병진 대칭성을 가지지만, 일부는 다른 대칭 요소도 갖는다. 예를 들어, 특정 축을 중심으로 결정을 180° 회전하면 원래의 원자 배열과 동일한 배열이 될 수 있는데, 이 경우 결정은 이 축에 대해 이중 회전 대칭성을 갖는다. 회전 대칭성 외에도 결정은 거울면 형태의 대칭성과 병진과 회전 또는 거울 대칭성의 조합인 소위 복합 대칭성을 가질 수 있다. 결정의 모든 고유 대칭성을 확인하면 결정의 완전한 분류가 완료된다.

격자계는 격자의 점군에 따라 결정 구조를 그룹화한 것이다. 모든 결정은 7가지 격자계 중 하나에 속한다. 격자계는 7가지 결정계와 관련이 있지만 동일하지는 않다.

일반적인 격자계 개요
결정족	격자계	점군 (쇼엔플리스 표기법)	14 브라베 격자
결정족	격자계	점군 (쇼엔플리스 표기법)	원시 (P)	저면심 (S)	체심 (I)	면심 (F)
단사정계 (a)		C	단사정계
사방정계 (m)		C	사방정계, 단순	사방정계, 저면심
직교정계 (o)		D	직교정계, 단순	직교정계, 저면심	직교정계, 체심	직교정계, 면심
정방정계 (t)		D	정방정계, 단순		정방정계, 체심
육방정계 (h)	삼방정계	D	삼방정계
육방정계 (h)	육방정계	D	육방정계
입방정계 (c)		O	입방정계, 단순		입방정계, 체심	입방정계, 면심

가장 대칭적인 입방 또는 등축정계는 정육면체의 대칭성을 가지고 있으며, 서로에 대해 109.5° (사면체각)의 각도를 이루는 4개의 3회 회전축을 나타낸다. 다른 6가지 격자계는 육방정계, 정방정계, 삼방정계(삼방정계와 흔히 혼동됨), 직교정계, 사방정계, 단사정계이다.

결정계는 점군 자체와 해당 공간군이 격자계에 할당되는 점군의 집합이다. 3차원에 존재하는 32개의 점군 중 대부분은 하나의 격자계에만 할당되며, 이 경우 결정계와 격자계는 모두 같은 이름을 갖는다. 그러나 다섯 개의 점군은 두 개의 격자계(마름모면체계와 육방정계)에 할당된다. 왜냐하면 두 격자계 모두 3회 회전 대칭을 나타내기 때문이다. 이러한 점군은 삼방정계에 할당된다.

결정계 개요
결정족	결정계	점군 / 결정종	쇤플리스	점대칭	차수	추상군
단사정계		페디얼(pedial)	C	거울상 이성질체 극성	1	자명군 $\mathbb{Z}_1$
단사정계		피나코이달(pinacoidal)	C	중심 대칭	2	순환군 $\mathbb{Z}_2$
단사정계		스페노이달(sphenoidal)	C	거울상 이성질체 극성	2	순환군 $\mathbb{Z}_2$
		도매틱(domatic)	C	극성	2	순환군 $\mathbb{Z}_2$
		프리즘	C	중심 대칭	4	클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
사방정계		마름모면체형(rhombic-disphenoidal)	D	거울상 이성질체	4	클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
		마름모 피라미드형(rhombic-pyramidal)	C	극성	4	클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
		마름모 이면체형(rhombic-dipyramidal)	D	중심 대칭	8	$\mathbb{V}\times\mathbb{Z}_2$
정방정계		정방 피라미드형(tetragonal-pyramidal)	C	거울상 이성질체 극성	4	순환군 $\mathbb{Z}_4$
		정방 이면체형(tetragonal-disphenoidal)	S	비중심 대칭	4	순환군 $\mathbb{Z}_4$
		정방 이면체형(tetragonal-dipyramidal)	C	중심 대칭	8	$\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$
		정방 사면체형(tetragonal-trapezohedral)	D	거울상 이성질체	8	이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이정방 피라미드형(ditetragonal-pyramidal)	C	극성	8	이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		정방 스칼레노헤드랄(tetragonal-scalenohedral)	D	비중심 대칭	8	이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이정방 이면체형(ditetragonal-dipyramidal)	D	중심 대칭	16	$\mathbb{D}_8\times\mathbb{Z}_2$
육방정계	삼방정계	삼방 피라미드형(trigonal-pyramidal)	C	거울상 이성질체 극성	3	순환군 $\mathbb{Z}_3$
		마름모면체형(rhombohedral)	C	중심 대칭	6	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		삼방 사면체형(trigonal-trapezohedral)	D	거울상 이성질체	6	이면체군 $\mathbb{D}_6 = \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방 피라미드형(ditrigonal-pyramidal)	C	극성	6	이면체군 $\mathbb{D}_6 = \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방 스칼레노헤드랄(ditrigonal-scalenohedral)	D	중심 대칭	12	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
	육방정계	육방 피라미드형(hexagonal-pyramidal)	C	거울상 이성질체 극성	6	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		삼방 이면체형(trigonal-dipyramidal)	C	비중심 대칭	6	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		육방 이면체형(hexagonal-dipyramidal)	C	중심 대칭	12	$\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2$
		육방 사면체형(hexagonal-trapezohedral)	D	거울상 이성질체	12	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이육방 피라미드형(dihexagonal-pyramidal)	C	극성	12	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방 이면체형(ditrigonal-dipyramidal)	D	비중심 대칭	12	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이육방 이면체형(dihexagonal-dipyramidal)	D	중심 대칭	24	$\mathbb{D}_{12}\times\mathbb{Z}_2$
입방정계		테타르토이달(tetartoidal)	T	거울상 이성질체	12	교대군 $\mathbb{A}_4$
		디플로이달(diploidal)	T	중심 대칭	24	$\mathbb{A}_4\times\mathbb{Z}_2$
		자이로이달(gyroidal)	O	거울상 이성질체	24	대칭군 $\mathbb{S}_4$
		헥사테트라헤드랄(hextetrahedral)	T	비중심 대칭	24	대칭군 $\mathbb{S}_4$
		헥사옥타헤드랄(hexoctahedral)	O	중심 대칭	48	$\mathbb{S}_4\times\mathbb{Z}_2$

총 7개의 결정계가 있다: 단사정계, 사방정계, 직교정계, 정방정계, 삼방정계, 육방정계, 입방정계.

결정격자(結晶格子)는 결정의 병진대칭성을 특징짓는 공간 위의 격자이다.

실공간에서 기본 병진 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃에 의해 실격자 벡터 '''R'''_n은

: $\boldsymbol{R}_{n} = n_1 \boldsymbol{a}_1 + n_2 \boldsymbol{a}_2 + n_3 \boldsymbol{a}_3$

로 표현된다. 여기서, '''n''' = ('''n'''₁, '''n'''₂, '''n'''₃)는 임의의 정수의 집합이다. '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃이 만드는 평행육면체가 단위격자(즉, 단위세포)이며, 이 단위격자를 3차원적으로 반복해서 나열한 것이 결정이다. 그리고 이 결정을 구성하는 격자가 '''결정격자'''이며, 실격자 벡터 '''R'''_n의 종점이 격자점이다.

결정계는 "필수적인 대칭성"을 정함으로써 7가지로 분류된다. 단위세포 안에 정확히 하나의 원자를 포함하는 것을 단순(primitive) 격자라고 부르지만, 결정격자의 대칭성을 생각할 때는, 같은 결정이라도 단위세포에 여러 개의 원자를 포함하도록 기술하는 편이 개황이 좋아지는 경우가 있다. 그래서, 단순격자와, 그 단위세포의 중심이나 단위세포의 면의 중심에 원자를 배치하여 만들어지는 격자를 생각한다. 이러한 격자는 3차원의 경우 7(대칭성) × 4(단순·저심·면심·체심) 종류가 있지만, 여기서 더 작은 단위세포를 사용하여 기술해도 단위세포의 대칭성을 손상시키지 않는 것을 제외하면 14종류가 된다. 이러한 14종류를 (3차원) '''브라베 격자'''(Bravais Lattice)라고 부른다.^[27]^[28]

2차원 브라베 격자(5종류)·3차원 브라베 격자(14종류)는 다음과 같다. 참고로, 4차원 브라베 격자는 64종류가 존재한다(자세한 내용은 영문판 페이지 참조).

2차원 브라베 격자
분류	브라베 격자		그림
결정족 (Crystal family)	단순 (P)	면심 (C)	그림
단사정계 (Monoclinic (m))	사방격자 (oblique)
직방정계 (Orthorhombic (o))	장방격자 (rectangular)	면심장방격자 (centered rectangular)
육방정계 (Hexagonal (h))	육방격자 (hexagonal)
정방정계 (Tetragonal (t))	정방격자 (square)

3차원 브라베 격자
분류			대칭성	점군 수	공간군 수	브라베 격자
결정족 (Crystal family)	결정계 (Crystal system)	격자계 (Lattice system)	대칭성	점군 수	공간군 수	단순 (P)	저심 (S or A/B/C)	체심 (I)	면심 (F)
삼사정계 (triclinic; a)			없음	2	2	삼사격자 (aP)
단사정계 (monoclinic; m)			하나의 2회 회전축/거울면	3	13

직방정계(사방정계) (orthorhombic; o)			3개의 직교하는 2회 회전축/거울면	3	59	단순직방격자 (oP)
정방정계 (tetragonal; t)			하나의 4회 회전축/4회 회전반전축	7	68	단순정방격자 (tP)

육방정계 (hexagonal; h)	육방정계 (hexagonal)	육방정계 (hexagonal)	하나의 6회 회전축/6회 회전반전축	7	27	육방정계 육방격자 (hP)
	삼방정계 (trigonal)	삼방정계 (trigonal)	능면체정계 (rhombohedral)	하나의 3회 회전축/3회 회전반전축	5	18	능면체격자 （삼방격자） (hR)
	입방정계(등축정계) (cubic; c)			4개의 3회 회전축	5	36
	체심입방격자 (cI)

2. 2. 2. 브라베 격자

결정 구조는 단위세포 내 입자들의 배열 기하학적 구조로 설명된다. 단위세포는 결정 구조의 완전한 대칭성을 갖는 가장 작은 반복 단위로 정의된다.^[2] 단위세포의 기하학적 구조는 평행육면체로 정의되며, 세포 모서리의 길이(''a'', ''b'', ''c'')와 그 사이의 각도(α, β, γ)로 이루어진 여섯 개의 격자 매개변수를 제공한다. 단위세포 내 입자의 위치는 기준점에서 측정된 세포 모서리를 따라 분수 좌표(''x_i'', ''y_i'', ''z_i'')로 설명된다. 단위세포의 대칭 연산 집합은 결정 구조의 공간군으로 공식적으로 표현된다.^[3]

브라베 격자는 공간격자라고도 하며, 격자점의 기하학적 배열, 따라서 결정의 병진 대칭을 설명한다.^[4] 3차원 공간에는 병진 대칭을 설명하는 14개의 서로 다른 브라베 격자가 있다. 준결정을 제외하고 오늘날 알려진 모든 결정질 재료는 이러한 배열 중 하나에 속한다.

결정격자(結晶格子)는 결정의 병진대칭성을 특징짓는 공간 위의 격자이다.

실공간에서 기본 병진 벡터 '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃에 의해 실격자 벡터 '''R'''_n은

:

\boldsymbol{R}_{n} = n_1 \boldsymbol{a}_1 + n_2 \boldsymbol{a}_2 + n_3 \boldsymbol{a}_3

로 표현된다. 여기서, '''n''' = ('''n'''₁, '''n'''₂, '''n'''₃)는 임의의 정수의 집합이다. '''a'''₁, '''a'''₂, '''a'''₃이 만드는 평행육면체가 단위격자(즉, 단위세포)이며, 이 단위격자를 3차원적으로 반복해서 나열한 것이 결정이다. 그리고 이 결정을 구성하는 격자가 '''결정격자'''이며, 실격자 벡터 '''R'''_n의 종점이 격자점이다.

단위세포 안에 정확히 하나의 원자를 포함하는 것을 단순(primitive) 격자라고 부르지만, 결정격자의 대칭성을 생각할 때는, 같은 결정이라도 단위세포에 여러 개의 원자를 포함하도록 기술하는 편이 개황이 좋아지는 경우가 있다. 그래서, 단순격자와, 그 단위세포의 중심이나 단위세포의 면의 중심에 원자를 배치하여 만들어지는 격자를 생각한다. 이러한 격자는 3차원의 경우 7(대칭성) × 4(단순·저심·면심·체심) 종류가 있지만, 여기서 더 작은 단위세포를 사용하여 기술해도 단위세포의 대칭성을 손상시키지 않는 것을 제외하면 14종류가 된다. 이러한 14종류를 (3차원) '''브라베 격자'''(Bravais Lattice)라고 부른다.^[27]^[28]

2차원 브라베 격자(5종류)·3차원 브라베 격자(14종류)는 다음과 같다. 참고로, 4차원 브라베 격자는 64종류가 존재한다.

2차원 브라베 격자
분류	브라베 격자		그림
결정족 (Crystal family)	단순 (P)	면심 (C)	그림
단사정계 (Monoclinic (m))	사방격자 (oblique)
직방정계 (Orthorhombic (o))	장방격자 (rectangular)	면심장방격자 (centered rectangular)
육방정계 (Hexagonal (h))	육방격자 (hexagonal)
정방정계 (Tetragonal (t))	정방격자 (square)

3차원 브라베 격자
분류			대칭성	점군 수	공간군 수	브라베 격자
결정족 (Crystal family)	결정계 (Crystal system) (결정계)	격자계 (Lattice system) (격자계/결정계)	대칭성	점군 수	공간군 수	단순 (P)	저심 (S or A/B/C)	체심 (I)	면심 (F)
삼사정계 (triclinic; a)			없음	2	2	삼사격자 (aP)
단사정계 (monoclinic; m)			하나의 2회 회전축/거울면	3	13

직방정계(사방정계) (orthorhombic; o)			3개의 직교하는 2회 회전축/거울면	3	59	단순직방격자 (oP)
정방정계 (tetragonal; t)			하나의 4회 회전축/4회 회전반전축	7	68	단순정방격자 (tP)

육방정계 (hexagonal; h)	육방정계 (hexagonal)	육방정계 (hexagonal)	하나의 6회 회전축/6회 회전반전축	7	27	육방격자 (hP)	rowspan=2\|	rowspan=2\|	rowspan=2\|
	삼방정계 (trigonal)	육방정계 (hexagonal)	하나의 3회 회전축/3회 회전반전축	5	18	육방격자 (hP)
	삼방정계 (trigonal)	능면체정계 (rhombohedral)	하나의 3회 회전축/3회 회전반전축	5	7	능면체격자 (삼방격자) (hR)
입방정계(등축정계) (cubic; c)			4개의 3회 회전축	5	36
	체심입방격자 (cI)

2. 2. 3. 부격자(부분 격자)

결정 격자를 구성하는 원자 또는 분자 중에서, 같은 성질이나 상태를 가진 것들이 서로 이루는 부분적인 격자를 말한다(이 의미에서 부분 격자라고도 한다). 따라서, 종류가 다른 원자, 분자로 이루어진 부분 격자도 정의할 수 있다.

부분 격자의 예로는, 반강자성체에서 위쪽 스핀을 가진 원자와 아래쪽 스핀을 가진 원자가 각각 부분 격자를 이루고 있다. 그 외 페리자성체와 같은 자기 구조를 가질 때 부분 격자가 존재한다. 물론, 자성 이외의 성질, 상태에 관한 부분 격자도 존재한다. 초격자 구조에서도 부분 격자가 중요한 의미를 갖는다.

2. 3. 밀러 지수

결정 격자의 벡터와 평면은 세 값으로 이루어진 밀러 지수 표기법으로 설명된다. 밀러 지수는 ''h'', ''k'', ''ℓ''을 방향 매개변수로 사용하며, (''hkℓ'') 표기법은 세 점 ''a''₁/''h'', ''a''₂/''k'', ''a''₃/''ℓ'' 또는 그 배수를 교차하는 평면을 나타낸다.^[4] 즉, 밀러 지수는 단위 셀과 평면이 교차하는 점의 역수에 비례한다. 지수가 0이면 평면이 해당 축과 교차하지 않음을 의미하며(교차점이 "무한대"), 음수 지수는 가로 막대로 표시한다. 입방 단위격자의 직교 좌표계에서 평면의 밀러 지수는 평면에 수직인 벡터의 데카르트 성분이다.

결정학적 방향은 결정의 격자점을 연결하는 선이며, 결정학적 면은 격자점을 연결하는 면이다. 일부 방향과 면은 더 높은 밀도의 격자점을 가지며, 이러한 고밀도 면은 결정의 거동에 영향을 미친다.^[1]

광학적 특성: 굴절률은 밀도와 관련이 있다.
흡수 및 반응성: 표면 원자 또는 분자에서 물리적 흡착 및 화학 반응이 발생하므로 격자점 밀도에 민감하다.
표면 장력: 원자, 이온 또는 분자가 다른 유사한 종으로 둘러싸여 있을 때 더 안정적이므로, 계면의 표면 장력은 표면 밀도에 따라 달라진다.
미세구조 결함: 기공과 결정립은 고밀도 면을 따르는 직선적인 입계를 갖는 경향이 있다.
쪼개짐: 고밀도 면과 평행하게 우선적으로 발생한다.
소성 변형: 전위 활주는 고밀도 면과 평행하게 우선적으로 발생하며, 전위에 의해 운반되는 변형 (버거스 벡터)은 고밀도 방향을 따라 이루어진다.

하나 이상의 격자점을 교차하는 (''hkℓ'') 평면(격자 평면)만 고려하면, 인접한 격자 평면 사이의 거리 ''d''는 평면에 수직인 (가장 짧은) 결정의 역격자 벡터와 다음 공식으로 관련된다.

:

d = \frac{2\pi}

일부 방향과 면은 결정계의 대칭성에 의해 정의된다. 단사정계, 삼방정계, 정방정계 및 육방정계에는 다른 두 개의 축보다 더 높은 회전 대칭을 갖는 하나의 고유한 축(주축)이 있다. 기저면은 이러한 결정계에서 주축에 수직인 면이다. 삼사정계, 사방정계 및 정방정계의 경우 축 지정은 임의적이며 주축이 없다.

2. 3. 1. 면 간격

단순 입방 결정의 특수한 경우, 격자 벡터는 직교하고 길이가 같으며(일반적으로 ''a''로 표시), 역격자도 마찬가지이다. 따라서 밀러 지수 (''ℓmn'')와 [''ℓmn'']는 모두 단순히 직교 좌표계의 법선/방향을 나타낸다. 격자 상수 ''a''를 갖는 입방 결정의 경우, 인접한 (ℓmn) 격자면 사이의 간격 ''d''는 다음과 같다.

:

d_{\ell mn}= \frac {a} { \sqrt{\ell ^2 + m^2 + n^2} }

입방 결정의 대칭성 때문에 정수의 위치와 부호를 변경하여 동등한 방향과 면을 가질 수 있다.

과 같은 ''꺾쇠괄호''의 좌표는 [100], [010], [001] 또는 이러한 방향의 음수와 같이 대칭 연산으로 인해 동등한 방향의 ''군''을 나타낸다.
{100}과 같은 ''중괄호'' 또는 ''괄호''의 좌표는 대칭 연산으로 인해 동등한 면 법선의 군을 나타내며, 꺾쇠괄호가 방향의 군을 나타내는 방식과 매우 유사하다.

면심입방격자(fcc) 및 체심입방격자(bcc)의 경우, 원시 격자 벡터는 직교하지 않는다. 그러나 이러한 경우 밀러 지수는 일반적으로 입방 초격자의 격자 벡터를 기준으로 정의되므로 다시 직교 방향이 된다.

인접한 (''hkℓ'') 격자면 사이의 간격 '''d'''는 다음과 같다.^[5]^[6]

결정계	공식
입방정계	$\frac {1} {d^{2}}= \frac {h^2+k^2+\ell^2} {a^2}$
정방정계	$\frac {1} {d^{2}}= \frac {h^2+k^2} {a^2}+\frac{\ell^2}{c^2}$
육방정계	$\frac {1} {d^{2}}= \frac{4}{3}\left(\frac {h^2+hk+k^2}{a^2}\right)+\frac{\ell^2}{c^2}$
삼방정계 (단순 설정)	$\frac {1} {d^{2}}= \frac{(h^2+k^2+\ell^2)\sin^2\alpha+2(hk+k\ell+h\ell)(\cos^2\alpha-\cos\alpha)}{a^2(1-3\cos^2\alpha+2\cos^3\alpha)}$
사방정계	$\frac {1} {d^{2}}= \frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}+\frac{\ell^2}{c^2}$
단사정계	$\frac {1} {d^{2}}=\left(\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2\sin^2\beta}{b^2}+\frac{\ell^2}{c^2}-\frac{2h\ell\cos\beta}{ac}\right) \csc^2\beta$
삼사정계	$\frac {1} {d^{2}}= \frac{\frac{h^2}{a^2}\sin^2\alpha+\frac{k^2}{b^2}\sin^2\beta+\frac{\ell^2}{c^2}\sin^2\gamma+\frac{2k\ell}{bc}(\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha)+\frac{2h\ell}{ac}(\cos\gamma\cos\alpha-\cos\beta)+\frac{2hk}{ab}(\cos\alpha\cos\beta-\cos\gamma)}{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}$

3. 주요 결정 구조

결정은 규칙적인 모양을 띠는데, 이는 결정을 이루는 입자(원자, 분자, 이온)들이 규칙적으로 배열되어 있기 때문이다. 이 입자들을 크기가 같은 구체라고 가정하고 배열 방법을 생각해보면, 공간에 빈틈없이 배열하는 방법에는 두 가지가 있다. 더 빽빽하게 배열된 방식을 첫 번째 층(a)으로, 두 번째 층(b)으로 하여, 세 번째 층을 쌓을 때 첫 번째 층과 겹치게 배열하면 육방 밀집 구조가 되고, 겹치지 않게 배열하면 입방 밀집 구조가 된다.

금속 결정에서 금, 은, 구리, 알루미늄 등은 입방 밀집 구조를, 마그네슘, 아연 등은 육방 밀집 구조를 취한다. 나트륨이나 칼륨은 정육면체의 8개 모서리와 중심에 구체가 있는 체심 입방 구조를 취하는데, 이는 입방 밀집 구조보다 틈이 더 벌어져 있다. 면심 입방 구조는 입방 밀집 구조를 비스듬히 옆으로 누인 형태이다.

이와 같이 구체가 규칙적으로 배열된 것을 공간 구조라고 하며, 14종류가 있다. 등축 정계에는 단순 입방 구조, 면심 입방 구조, 체심 입방 구조 3종류, 육방 정계에는 육방 밀집 구조가 있다. 정방 정계에는 체심 정방 구조 외 1종, 사방 정계에는 면심 사방 구조 외 3종, 단사 정계에는 2종, 삼사 정계와 마름모 정계에 각각 1종의 구조가 존재한다.

결정의 격자 구조는 단순 입방 구조(pc 또는 sc), 면심 입방 구조(fcc), 체심 입방 구조(bcc), 육방 밀집 구조(hc) 등이 있으며, X-선 회절(X-ray diffraction) 실험을 통해 격자 면간 거리를 분석하여 구조를 알아낼 수 있다.^[29]

많은 결정은 다성분으로 구성되며, 비슷한 결정 구조를 가진 경우가 많다. 주요 결정 구조는 다음과 같다.

결정 구조	SB 기호^[29]	그림	주요 예	보로노이 도형 표현
단순 입방 격자 구조	Ah	170x170픽셀	α-Po(저온)^[30]	정육면체
면심 입방 격자 구조	A1	170x170픽셀	Al, Ca, Ni, Cu, Ag, Au	마름모십이면체
체심 입방 격자 구조	A2	169x169픽셀	Li, Na, K, V, Cr	깎은팔면체
육방 최밀 충진 구조	A3	169x169픽셀	Be, Mg, Ti, Co, Zn	마름모형 사각십이면체
다이아몬드 구조	A4	158x158픽셀	C, Si, Ge, Sn	깎은사면체에 정사면체의 4등분 삼각뿔을 붙인 16면체
백주석형 구조	A5	170x170픽셀	β-Sn	등면사면체(등면팔면체의 공극 있음)
흑연 구조	A9	170x170픽셀	C	육각기둥의 측면에 사각뿔을 3개 붙인 11면체 + 육각기둥의 측면에 사각뿔을 3개, 윗면과 아랫면에 육각뿔을 붙인 15면체
A15형 구조	A15	150x150픽셀	Nb₃Sn, V₃Si, β-W, Nb₃Al, Cr₃O	황철석형 삼각이십면체 + 쐐기형사면체
염화나트륨형 구조	B1	150픽셀	NaCl, MgO, CoO	깎은정육면체 + 정육면체
염화세슘형 구조	B2	150픽셀	CsCl, RbCl(고온고압하)	입방팔면체 + 정팔면체
섬아연광형 구조	B3	150픽셀	ZnS, HgS, CuCl	정팔면체의 4면에 교대로 정사면체의 4등분 삼각뿔을 붙인 16면체 + 정사면체
섬아연광형 구조	B4	150픽셀	ZnO, AlN, BeO, GaN	마름모형 사각십이면체의 2등분 + 마름모형 사각십이면체의 2등분
비화니켈형 구조	B8-1	170x170픽셀	NiAs, AuSn, CoTe, CrSe	마름모형 사각십이면체 + 마름모십이면체
일산화납형 구조	B10	170x170픽셀	PbO, FeSe, FeS	정팔면체의 한쪽 4면에 정사면체의 4등분 삼각뿔을 붙인 16면체 + 정사면체
형석형 구조	C1	161x161픽셀	CaF₂, CeO₂	정팔면체 + 정사면체
황철석형 구조	C2	170x170픽셀	FeS₂, AuSb₂, CaC₂, CoS₂, MnS₂	정육면체 + 깎은정육면체의 이등분
적동광형 구조	C3	170x170픽셀	Cu₂O, Ag₂O, Pb₂O	정팔면체 + 정사면체(공극 있음)
루틸형 구조	C4	170x170픽셀	TiO₂, MgF₂, MnF₂, NiF₂, ZnF₂	마름모육면체 + 마름모 2면·사다리꼴 2면·삼각형 2면으로 이루어진 육면체
요오드화카드뮴형 구조	C6	170x170픽셀	CdI₂	마름모십이면체 + 마름모십이면체
플루오르화비스무트형 구조	D0-3	170x170픽셀	BiF₃, BiFe₃, AlFe₃	깎은팔면체 + 깎은팔면체
산화레늄형 구조	D0-9	154x154픽셀	ReO₃, Cu₃N, O₃W, O₃U	이중사각뿔대 + 정육면체
Ni₄Mo형 구조	D1-a	170x170픽셀	Ni₄Mo, Ag₄Lu, Ag₄Sc, Au₄Cr	납작한 깎은팔면체 + 납작한 깎은팔면체
Al₄Ba형 구조	D1-3	207x207픽셀	Al₄Ba, ThCu₂Si₂, ThCr₂Si₂	사면체 + 사각뿔 + 직육면체
붕화칼슘형 구조	D2-1	170x170픽셀	B₆Ca	깎은팔면체 + 깎은팔면체의 6등분
CaCu₅형 구조	D2-d	170x170픽셀	CaCu₅, Ag₅Ba, CePt₅, Ag₃Al₂La	육각기둥 + 사각기둥 + 삼각기둥
코런덤형 구조	D5-1	225x225픽셀	α-Al₂O₃	정육면체 + 정사각형사다리꼴11면체
페로브스카이트형 구조	E2-1	150픽셀	CaTiO₃, LiNbO₃, CaZrO₃	큰 마름모입방팔면체 + 깎은팔면체 + 정육면체
울마나이트형 구조	F0-1	173x173픽셀	NiSSb, AsBaPt, AsPdS, BiIrS
스피넬형 구조	H1-1	171x171픽셀	MgAl₂O₄, CaIn₂S₄, Al₂CdS₄	깎은팔면체에서 지붕형 3개와 삼각뿔 1개를 제거한 13면체 + 직육면체 + 사면체(공극 있음)
인산은형 구조	H2-1	170x170픽셀	Ag₃PO₄	사면체 + 사면체 + 사각형 8면·삼각형 12면의 20면체의 이등분(작은 팔면체의 공극 있음)
CuAuⅠ형 구조	L1-0	171x171픽셀	CuAu, TiAl, NiPt, CoPt, FePd	마름모 12면체 + 마름모 12면체
K₄ 결정 구조		183x183픽셀	SrSi₂ 속의 Si, BaSi₂ 속의 Si

3. 1. 최밀 충진 구조

결정 구조는 여러 가지 방법으로 기술할 수 있는데, 그중 하나가 최밀 충진을 기반으로 하는 방법이다. 원자를 틈새가 가장 적게 되도록 배치한 구조를 최밀 충진 구조라고 한다. 최밀 충진 구조에는 다음과 같은 것들이 있다.

육방 최밀 충진 구조(hcp): A면 위에 B면이 있고, 그 위에 다시 A면이 반복되는 구조(ABABAB...)이다.
면심 입방 구조(fcc) 또는 입방 최밀 충진 구조(ccp): A면, B면, C면이 차례대로 쌓이고 다시 A면이 반복되는 구조(ABCABC...)이다.

많은 결정은 다성분으로 구성되며, 비슷한 결정 구조를 가진 것이 많다. 그러한 결정 구조에는 다음과 같이 이름이 붙여져 있다.^[29]

결정 구조	그림	주요 예
육방 최밀 충진 구조		Be, Mg, Ti, Co, Zn
면심 입방 격자 구조		Al, Ca, Ni, Cu, Ag, Au

3. 2. 최밀 충진이 아닌 구조

단순 입방 구조(cubic-P)와 체심 입방 구조(cubic-I, bcc)는 원자를 틈새가 가장 적게 배치하는 최밀 충진 구조가 아니다. 체심 입방 구조는 정육면체의 8개 모서리와 중심에 구체가 있는 형태로, 입방 밀집 구조에 비해 틈이 더 벌어져 있다.^[29]

결정 구조	SB 기호^[29]	그림	주요 예	보로노이 도형 표현
단순 입방 격자 구조	Ah		α-Po(저온)^[30]
체심 입방 격자 구조	A2		Li, Na, K, V, Cr

3. 3. 원자 충진율과 배위수

(기하)다이아몬드 구조0.344 (정사면체)단순 입방 구조0.52^[10]6 (팔면체)체심 입방 구조 (BCC)0.68^[10]8 (정육면체)면심 입방 구조 (FCC)0.74^[10]12 (입방팔면체)육방 조밀 충진 구조 (HCP)0.74^[10]12 (삼각형 직교 이중 돔)

결정 구조

1. 개요

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2. 결정 구조의 분류

2. 1. 단위 격자

2. 1. 1. 단순 단위 격자

2. 1. 2. 최대 충전 구조

2. 2. 결정 격자

2. 2. 1. 결정계

2. 2. 2. 브라베 격자

2. 2. 3. 부격자(부분 격자)

2. 3. 밀러 지수

2. 3. 1. 면 간격

3. 주요 결정 구조

3. 1. 최밀 충진 구조

3. 2. 최밀 충진이 아닌 구조

3. 3. 원자 충진율과 배위수

3. 4. 간극 자리

4. 결정 결함

4. 1. 불순물

4. 2. 전위

4. 3. 결정립계

5. 결정 구조 예측

6. 다형체

7. 결정의 물리적 성질

7. 1. 압전성

7. 2. 강유전성

참조

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